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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 OA~6x?5d  
wp"DAP5^  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. YRT(x^m-?  
K[xty^f>.F  
　　1、三角函数本质： !>:LdF[  
FWe|FbHv  
　　三角函数的本质来源于定义  r}RN  
LTD{zU0  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ToY,$+  
C:~]`Z  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ^1!%d;  
~eizw&^ Z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： }:1s(Swt e  
f0A2I7<@`  
　　推导： % 0qQ;Vw0  
cz;:c^("~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 a8x,i|Z5c  
w{g5veP  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Lre|(0b >  
x sNH)o   
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) \|h{W.-N%  
$}4{ 9  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 %%x*qGV  
0P/%&&k  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） I?G<hcz0  
z?Gm@1  
　　[1] :4][wAz]  
L0! ye\jqJ  
　　两角和公式 2UK4a$V  
?t4Sgrs  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ij}]DhZ  
|u3hHU9n  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Qz\ a{*b  
74H;5*i  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB dplI-\q  
n0j<.U5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 0j0L<VU1j  
[HV]5].4  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) M~h/,ib  
uc\CVHI  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) OQJ\O=X~\  
$fMM9g"17q  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }9f.8ce  
`ui8cd8-  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Z $JGbC  
+=yfN' 3  
倍角公式 qQc~Id  
w[SNh(8p*  
　　Sin2A=2SinA•CosA K7'RY2;2~  
5~Z:g\m]  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 <1}_u9A=  
ySvF(h)7  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） *#($QwO,.  
{1rvpB  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） q'x/MT8  
iRYpw y?  
三倍角公式 GLS%TD b<A  
M}MvXLoL)  
　　 D?4%<aHUn  
U !7}JGL  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) (f&9?!d:  
W>Z!W:<EV  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 8wYB#u4?  
AO8SwM  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 14>V~yp  
{f=fWUvq  
三倍角公式推导 M}*Y%O'+;  
>L '^.f]r  
　　sin3a " ' AYz\  
P [u=9  
　　=sin(2a+a) z 07&V"R  
S!l %  
　　=sin2acosa+cos2asina %NZ@EI%  
7,sGR_A_Q  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina p,<$mtH#%  
.Hs^9G$B[  
　　=3sina-4sin³a 8 Mcq,{X/  
, *UhBI9W|  
　　cos3a +j2Y[Mzq  
kV&nAZt  
　　=cos(2a+a) +o4op}JX  
$8yN1zoR2  
　　=cos2acosa-sin2asina V!,7}  
77o=dsl  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa }6cB9HE  
`^bbL9Ex  
　　=4cos³a-3cosa &kQ."W1+  
WT];`t  
　　sin3a=3sina-4sin³a n5Tc>R  
d5{\, oQ  
　　=4sina(3/4-sin²a) -ZP]V  
cCxvAD'%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] O?Uu W .2  
LGD9!(0o ]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  uq<9%`  
lX=(nSf  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) _n| xS.uV  
98tc< @y}  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] j 9UPQ{)h  
Fg.| n p  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Qu5jD1l  
c&q*!=:  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 3PxdHUOK  
:OI!I  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ,W$B6i>gz  
Aax,yYN  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ye{URR0  
B8q_8sIm  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) }pUulZ~f  
N(I p8[h8@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ~"U8%vY  
H\;?fK|H  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} d^bA$PN+H  
N\ 1zBu  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ZOAU^L"q  
TAKLW,  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ly>z3 !w%  
f)AS,diZ%  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -jf Owg  
g^OV<D?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )cO^EU&  
C_ >t|ZeT  
　　上述两式相比可得 g vyRE:  
 7c#YB(=  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ,|qFh|Nx@  
2vNP/jg  
半角公式 9Oda  
k$z?:?Vc'  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); _VB,e!\  
?)`N,4re 2  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Jk _K+#nE  
,l`v*[k4  
和差化积 pr SMa  
IUBE;"O  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *~-4+TY *  
ZbjsLXLFx1  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] E%{rKoR  
nI9%b\zgU  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] / 'Et%  
>/IG#}W  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 3 |"4y}HE  
5yi@_Nkk&F  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) `lgPE4c#4H  
'78&l- h  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) VZcOL}_g  
UNHA[&C'  
积化和差 {/# W vgT  
$v&pzamF  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] K\YDZ+]L  
PK&sK7K  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] D+|y:2?b  
.x&Xix5O=  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] hN%_ Sn:^a  
DB]y mGdT  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] b_j gE5';  
taC9 T*yf  
诱导公式 B}?%mlO=  
R9;.gV  
　　sin(-α) = -sinα A* !*  
ksrO{^4T  
　　cos(-α) = cosα GE?~5}f,Y  
h8,+UW  
　　sin(π/2-α) = cosα Ov(Gi}Nm]  
sQxW18MiC  
　　cos(π/2-α) = sinα .*R4<B=z  
OcI 2#[_  
　　sin(π/2+α) = cosα t}nO {>vz  
^7 -Zd7Vf  
　　cos(π/2+α) = -sinα q)t}_H.S  
.&e]cz q  
　　sin(π-α) = sinα zn<2M|aCC  
U&4tB92m:  
　　cos(π-α) = -cosα xa\<R:1;Kb  
(2LcKBNAsq  
　　sin(π+α) = -sinα 1Nkl(c  
7 |O{\h  
　　cos(π+α) = -cosα X?-@aFoT\  
[H*8K }yT?  
　　tanA= sinA/cosA d3^ zk ka  
e(OQ`AsQ@J  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα mftvG5&^_{  
-)q4Eh#%  
　　tan（π/2－α）＝cotα 5xHdA\&  
`MO0!BjG  
　　tan（π－α）＝－tanα 0$G$2dRQv  
'CnyP*2  
　　tan（π＋α）＝tanα 7Yxa#|l7W  
) ~Tw4>  
万能公式  d;1\or7  
:O`WHkT  
　　 %7azH=[D  
=PU]t 4  
其它公式 UFe9ZJ-zR  
! Oq>l|P  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 sEq1J[;E  
XO1^)X[s  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 X-Nfj/mr  
F%b[{1  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 0b=Khto|  
'0X 2Y*:  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 o:/iX*4  
Mnel6Vub  
　　对于任意非直角三角形,总有 OTknsT_  
;3Kn:-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -f/I"p9b  
Cr/T ;jQ  
　　证: q1UN[9e^s6  
*/m8o{)  
　　A+B=π-C Xnw_lo_  
^TW?@7xDW  
　　tan(A+B)=tan(π-C) k;M[S3lg  
1N1']/@B)1  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ] q\#4  
%:NBh&  
　　整理可得 G]P#~gvbW  
u/(hwf#Y!*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XmRGsBd  
Bf:Y@Kqbb  
　　得证  l Tp v$  
;@=(6.t/L/  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ql4GgvO  
cb9:yv$R5  
其他非重点三角函数 $\cW]L3  
Ey >\Zh]  
　　csc(a) = 1/sin(a) k3_T~K~5-<  
>`Mu>nQp_  
　　sec(a) = 1/cos(a) V1{ i@Q  
6%QuAU5O  
　　 \y); l1~  
8eS_lj al  
双曲函数 rzncLbP!<  
7YBU]"mj  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 $p TiAGc  
+b'OVFznEa  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 +x*8rB.;^  
R8~u5 V  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) xBD 86NS  
$8"(*j5Y  
　　公式一： P n83 U,  
h{_"v  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： M)(1iPp4ai  
p ~[@"G [2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα %l!at)!  
.ZM#` hbJ  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 1 Jg  
4+e}e  
　　tan（kπ＋α）= tanα r zK~=s  
*B\!l4T P  
　　cot（kπ＋α）= cotα  \%%H4ZXb  
9B;R>OLNw  
　　公式二： +HxV]Y6iM  
@Ht@8  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 8wVb12YsH  
:`^%  
　　sin（π＋α）= -sinα Hf#s@t~C  
Hunb,xL  
　　cos（π＋α）= -cosα n65YQ*e%  
3dz#Ato  
　　tan（π＋α）= tanα 8vV:QjY  
c T>'XE/  
　　cot（π＋α）= cotα 5Q2EJQ7u  
-8?.V__#E  
　　公式三： Yd,II.+^"_  
Ny_gWd:mIv  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： [#&p)3Ty{U  
u/ qpS  
　　sin（-α）= -sinα zyzp;cjp  
Xs"N1]  
　　cos（-α）= cosα  tzID3WP  
W|m?Lz*v  
　　tan（-α）= -tanα 2/d$C<l[  
)_!?_/\?Z  
　　cot（-α）= -cotα }g+3e;/@  
@<@$)  
　　公式四： c?el CQ~  
XzV/lj4RR  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  @nl-  
)rv[D7  
　　sin（π-α）= sinα {+AR=MeDC  
'nW4o+MD  
　　cos（π-α）= -cosα w _^Ft/%9  
 3A]G R)  
　　tan（π-α）= -tanα hfgjBt"#  
ICy-6x\\  
　　cot（π-α）= -cotα RM+B d  
BVIpHm?dF@  
　　公式五： Q^3hB _  
:XdKsU3{-  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： NZ0`(!%  
QbIE`6Tp  
　　sin（2π-α）= -sinα %Q+urDQ  
aJ ?qE4  
　　cos（2π-α）= cosα iiZ.S  
&8x4bt  
　　tan（2π-α）= -tanα zzK8LGP3o2  
> +Xr L5  
　　cot（2π-α）= -cotα {G&Hf97kc  
gTJw2Yg  
　　公式六： N2s5i ^*  
?jpPqZW  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： \Gzfx?&wW  
|}Lg=axm  
　　sin（π/2+α）= cosα %)  
hy%!Jq^#  
　　cos（π/2+α）= -sinα `pq8G''A  
ZG^&([DR  
　　tan（π/2+α）= -cotα <k[F:=P  
7"OlEz^_  
　　cot（π/2+α）= -tanα su" sWOy  
YHPpwP$LN  
　　sin（π/2-α）= cosα qst/W.> "@  
r 1:^h?(T  
　　cos（π/2-α）= sinα jsdgoBs  
u08D\P  
　　tan（π/2-α）= cotα GSnJjg-  
#tjsy(_ a  
　　cot（π/2-α）= tanα ]Ol1r  
)Y CUp  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 4a!nkH\iu  
*We mpE  
　　cos（3π/2+α）= sinα Wm}\z&oq  
Ei!9#'  
　　tan（3π/2+α）= -cotα DT&O e6^}  
$}gSIU8#%W  
　　cot（3π/2+α）= -tanα tC^@)5  
FBF3 >q/  
　　sin（3π/2-α）= -cosα +p-M>2I  
-uF9:?Mb  
　　cos（3π/2-α）= -sinα EOz$Fmle  
T_=~ _-{  
　　tan（3π/2-α）= cotα 4oX`^X  
6e[$FTs  
　　cot（3π/2-α）= tanα r#G0W|  
hg4 -s   
　　(以上k∈Z) L,h*Bnhz  
| a5 ~F  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Z'g,C{a  
I#B~B/  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = n Ch)bpQZ  
CzdD dDvm  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ;>Xz 4j  
W_K^I||Pr  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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