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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 S?ee4J  
t%0P"z--c  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. xklX_dSM  
u> lj<Xc,  
　　1、三角函数本质： gIR+A9'  
Q:gg;|,<  
　　三角函数的本质来源于定义 0,vj_,d2  
R,[Iwvt#*  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :"J Sy}c  
l= _3_*N$  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 b75"vWy  
I5-348!$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： $<tRH&6$Z\  
$U:>m]  
　　推导： %_CR65  
gX/7  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 l!IWIi(w  
VmI. d;u  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) "dZ0Hs2  
.RK{i9  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) dqK$bWr+  
WM /3  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 aF &b5Xg  
e*YZb#  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Y0h!|FL%Ps  
Y!Wv K  
　　[1] ""R% mg1  
G\&]Vo=7M  
　　两角和公式 YqRlWQd  
!NkC-/^o  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB SF~d)!~w|~  
6E/"}=*  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  k[]*!! HB  
~06{/q   
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB DHO. )?  
6 k8GU&  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB pIRqCD  
pK @l<Mj,  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $E5N_aC  
~AY}+-p  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) = "Kip\d  
M %yWm-  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  @ <T$ 2  
+ nYvPQ  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) {"iC}S$SB  
[z-ifnp  
倍角公式 FRKt8~O+  
6]VOIj  
　　Sin2A=2SinA•CosA n\x:UQV>j  
zYT6(%L6  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1  <Np 53r  
;w3BQGzY  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） GYfJe  
3Gc_Se Ur  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ~*O=Qb1!-#  
y_627O4  
三倍角公式 O{]m+[k'`  
(Q=[$| Y  
　　 (7Td2l  
1wV|Zw  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 5_;2hG{^  
G47gsN<  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 1=u oNfXX  
"Q8u .  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) bzsX1<\  
PGQ J[* +  
三倍角公式推导 B={^+ bb  
3/}jN  
　　sin3a 2aY] -  
a l1l3ht,I  
　　=sin(2a+a) J3Aw1 0n~"  
4g_5^[[G  
　　=sin2acosa+cos2asina f>`AI1"9g  
O>Zqz  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina J*!fNhM^=[  
!hR2 P  
　　=3sina-4sin³a <; Sndd  
aAD?TcC  
　　cos3a FLx"mw4<{  
 +D-q  
　　=cos(2a+a) Qv$. "8V%  
0cT#d@e3  
　　=cos2acosa-sin2asina Oq[7+gG>  
~UwTA|KE  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 5a*)v3)  
>ISqQ*9nG  
　　=4cos³a-3cosa ey|EIX7  
Bs6Aw  
　　sin3a=3sina-4sin³a T~\|'`  
)Vt*]P;H  
　　=4sina(3/4-sin²a) /RTQ%E@+<  
Wh|tR]q[)^  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] O4WQ8S )5  
(Z&6~UO#  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ~4 x'G2  
CZW)tWYk  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) C:l6=ENOM  
"TuX?|a^C`  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] OF9y /NJ  
UV<_}9&  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 4:P7H|M%a  
0 Z=PT2  
　　cos3a=4cos³a-3cosa AG%~]o  
km((;? Ges  
　　=4cosa(cos²a-3/4) u`y<bK/v@]  
?HTUg~B+p  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] `UeRW/a]A  
:h/i;F;x1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) O}+H;n  
F VB8aRLNp  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) I%aLCb 7-  
tbb2`TMV  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} "mP,oqSx/  
3"IL`8jLd  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) l8JPU\J%  
2X=^?o<%  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &"aj,gGjJI  
vAq*jQ|  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] cW3y}FTg  
m.yys7K  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) #N F:=t}  
&XhH\ MW  
　　上述两式相比可得 3?2=Tj-C)8  
&nY$\'|8  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) so ;u9 ot  
= gHW ^  
半角公式 i dLxQU.*  
/vS X$n  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); )bp6lx-  
-:11:<*-O  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. }c\4}  
lO<y}  
和差化积 ,,sK- _  
lw 0a  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] K|Ncd|j!F  
qf!~h~pzG  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^<K$`PB.  
>.QR& 3N  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] x'j3A.In  
W`y;')a)  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $%/z O#Y  
#KFuYB _  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ~7)Vi5+JR  
`vyCimti  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ,v2vTq  
{1N. 'nD  
积化和差 ?V>+lI:  
sZ,6=Rl  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] S8 4tcY3  
K#CBYqnV"  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Rm3XvgK5  
[{G=kkq/  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] "TZmv?|  
8FysVYnV  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] }Jcb\ob*  
uC>}IAxCE  
诱导公式 TGYf7'qH  
U-Q:pR  
　　sin(-α) = -sinα 2N>%64 Z^  
p0i`=$i  
　　cos(-α) = cosα ~"63-Ceu.  
q`hqO\]  
　　sin(π/2-α) = cosα \-nXl)  
Bxd@|PP>Y  
　　cos(π/2-α) = sinα -<[ulx,W  
#F^M,T$R  
　　sin(π/2+α) = cosα bpC*=Y7{  
A lu>lC`g  
　　cos(π/2+α) = -sinα jx(E-n  
4tmLO  
　　sin(π-α) = sinα "m zHs  
1{#. $7O  
　　cos(π-α) = -cosα YB.} P  
T#yd[r JR  
　　sin(π+α) = -sinα E gMP  
|6 bjH :3  
　　cos(π+α) = -cosα Q$%"  
b?MNdD  
　　tanA= sinA/cosA /y Qigdi_  
N-*_m.o  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =BbC& }94  
lD,i D%   
　　tan（π/2－α）＝cotα iWfB<  
1e @4^ p  
　　tan（π－α）＝－tanα 4iHi^/_aK  
gGI5_.c  
　　tan（π＋α）＝tanα :>z { L  
?glb7ig  
万能公式 dmp^VW  
>C`G|j:  
　　 -qc F(K|  
r>yQ2i  
其它公式 ~eTX^# GT+  
`jGA< -  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 s){KI.Z%  
E/J1h~uh  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 )-t/RSzj  
V~d&JEBR  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 :uO%0iSm"  
G\4YO*9  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 h| kM=p  
*hl`mM>7#5  
　　对于任意非直角三角形,总有 ^@Od&_Gih  
o{%hQ(h  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7M8^}gT-  
;s2U?c}\xj  
　　证: z8 nub1`  
S3s\eF  
　　A+B=π-C ,$qKLF  
kG |!Q/q  
　　tan(A+B)=tan(π-C) u:EOZh  
`1~B]}B~  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) H-U;_E0  
y^.wK2{b Q  
　　整理可得 [W0J CU  
Jyr@8^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >"jvt;wg  
26njzcjEqY  
　　得证 K<qxpw;  
HY&@tP%(  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 SgI;& !0  
)^.['[ qB(  
其他非重点三角函数 @wM6y+Z  
{ ]RhX   
　　csc(a) = 1/sin(a) ,3'-R$<Qv  
A$2tz  
　　sec(a) = 1/cos(a) 1\V9z]@t9  
G<:L6iDp6  
　　 r8L(6cEG`  
>m erOH  
双曲函数 Y>Vhtz  
{v&)=,*0  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 I/~(n Z  
]n`<Xh|$  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 mBQ "&Rq.  
(q!s2J %f  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) k '1D;  
y{\'z  
　　公式一： S6e(_ks  
e^r(%,w-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： or]k`g:  
YQtCh(\  
　　sin（2kπ＋α）= sinα S,;jVb   
S-HJ{COy5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8t-nmX;l  
,3B <*{  
　　tan（kπ＋α）= tanα 0 0?B s  
<| Qz2  
　　cot（kπ＋α）= cotα H 9/6 |(  
 * *G)m  
　　公式二： Q#/$ k>x  
*LH X8],p  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： )g$tvV }Z;  
=k!ult1((  
　　sin（π＋α）= -sinα D ~oE;  
1 ]7Q!  
　　cos（π＋α）= -cosα @hr(x|&'6  
]Z<sg  
　　tan（π＋α）= tanα 6<V{rd20  
Y<>lD70w^  
　　cot（π＋α）= cotα f+cZF6vc  
r2~cAz"  
　　公式三： xRd)0fAsw  
W>h(@ vg  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 5Lry?\zuf  
Fi`3PMr`H  
　　sin（-α）= -sinα KoqrO'  
vrQ.h0?T  
　　cos（-α）= cosα gj]uQ5  
Kk|g;>  
　　tan（-α）= -tanα )<-W#M/R  
G( a>DR5  
　　cot（-α）= -cotα #ML6(7W8zD  
2 MZte  
　　公式四： 4s ^ 9HBf  
nsUdod9f  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： "@r*`GOk  
5(TwJ6m*  
　　sin（π-α）= sinα k)CCIP  
u9%#IA   
　　cos（π-α）= -cosα ,y?d.~k  
2+}Y  
　　tan（π-α）= -tanα <7UCg!k  
q;Lsax]  
　　cot（π-α）= -cotα 0kFovzl&V  
Zzm]FAv>  
　　公式五： = gtm`,  
8c)5  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： :|KrG(enw  
Yp_B6/J^  
　　sin（2π-α）= -sinα %D$ :z  
@NT33\  
　　cos（2π-α）= cosα vh VlGfy  
_)qTS0/(<  
　　tan（2π-α）= -tanα $)& dE9y  
_,[!%yyn/"  
　　cot（2π-α）= -cotα ,$|W->7  
1e%5dvvz  
　　公式六： =]nu%k  
~Zi#-  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： \!?_28-"g  
1z{NnC0X  
　　sin（π/2+α）= cosα K e{4qO  
?mMZn;(  
　　cos（π/2+α）= -sinα ?)Tf=]  
&H9" :?N  
　　tan（π/2+α）= -cotα pO5{ey wM  
sSR%]P/,Nq  
　　cot（π/2+α）= -tanα #XV%5Qj  
~2=mf  
　　sin（π/2-α）= cosα 6\=lT`3i  
_R {H"< z}  
　　cos（π/2-α）= sinα 7vP/8W  
P?TC}<  
　　tan（π/2-α）= cotα rW#b/k|H  
a($V=3H  
　　cot（π/2-α）= tanα b}9 c6V  
; t.('NoL  
　　sin（3π/2+α）= -cosα w2U<tQyi  
GJ~a[d8]L  
　　cos（3π/2+α）= sinα AHq.r ^sd\  
-X}s,  
　　tan（3π/2+α）= -cotα pGiZ_SS,<  
BY"3"s  
　　cot（3π/2+α）= -tanα -,%z YdL6  
M]{( t"V8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα "|0zN  
k)u[z48$(U  
　　cos（3π/2-α）= -sinα |Cx`8u.O  
+|l`@K_RrF  
　　tan（3π/2-α）= cotα  T`K{H9d  
Nr"!].--  
　　cot（3π/2-α）= tanα HFbws?  
VeF LD  
　　(以上k∈Z) H*C1!5WEB  
\VpWaB F^o  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 jAY.bF3  
'/(/Aqd  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = I BbON  
Mj4+v  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } yndvZmg  
!2Q%I=  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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