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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 c-: Afbd  
%~ohA!@~~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. < <  
h~!/6Cnc  
　　1、三角函数本质：  iJ?j$a<  
JuE:Y3  
　　三角函数的本质来源于定义 C#8aIPBM  
~_{)sZj  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 8@7394o  
jPU}} @  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 }}-cCWU  
Jye2)ehyG  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ^f2u;mL  
A`#$*)~I  
　　推导： -o_-u1<-=  
;KV<z@Ud  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {HZ@f.M  
89<:E.U2ko  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^Aj7+4.Q6  
7]`?@t6~ [  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) p@blU*  
RR6\p  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ~_E#Q[k>  
-NO0  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?JZw}U^#A  
PDZUJVEM  
　　[1] ((7cy>  
\)Xq~Mjb  
　　两角和公式 gk*C(_n9  
N4Kik]8!g  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $/H*\d ce9  
+lf8;5[P  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  v0N7<o |p.  
O]MI$|! r2  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB QLN{.mO?$)  
9=z]BJCzk  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB USVf2*QN3X  
z5x@8SN  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) gh. -z  
K> Mr%`  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ~M=3yrht;'  
gt28MFe  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  c \2AKA  
-YtiU@p|O  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) s;TUN\m  
Q)m={|12  
倍角公式 9uw5kqb V  
F D!^`D^  
　　Sin2A=2SinA•CosA szfZk]=hJ  
+sW#~2  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 BovKEd(R'  
S3)x(k7  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） :`Uk11  
eaZ~.* fh  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 5D&zNnR  
P\T &B&*(/  
三倍角公式 d]3U(0  
\t{.HGX  
　　 wq@TI; T  
><EM; o  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |br`#gqx{  
Z*f}ZWMo  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $&@TI$=T\  
`1tuy7fi  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )_YK'wTt'  
"ij2gseRe  
三倍角公式推导 LZ#3a53~  
^ lKqi@HU  
　　sin3a gj9xg6  
OlH;DBS+  
　　=sin(2a+a) [Wkqg/~  
>:.AxP   
　　=sin2acosa+cos2asina B%2_MyJif  
)2|^/Cp  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina _t9(kW|,  
U8h;HiMe  
　　=3sina-4sin³a jc  esY  
'3s su  
　　cos3a p! D=  
&E1gHA~  
　　=cos(2a+a) B\YBUV0OW  
c17-! Oh  
　　=cos2acosa-sin2asina ?@.kD7Nn  
,eTS E  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa bh%]B]pfm  
T*@iIAj  
　　=4cos³a-3cosa 0RoXvC7_?Q  
vttk'O'  
　　sin3a=3sina-4sin³a =v{#;  
<O[4 <NzD  
　　=4sina(3/4-sin²a) a!simp  
FxYV&ih5  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] @[4dBwkg  
<Es y*l8  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `"{WpSTH  
~X50"XP  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) j_RL"-q  
L{c?i[~y  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  Uarp  
Qf `?G^L  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Q3MjS?y$+)  
RwIW\hUsI  
　　cos3a=4cos³a-3cosa E qRnl*  
?[JY*KpXd  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 'NLDGe3([  
t*Ryl$6  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ^L@fj+  
o[ c_~:>4  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) c] u%5k,  
c+"<tS=  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /W= /{\1`  
6,j+S  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 9@tWr`2  
_Oc)viM}  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) QX.\xP=a  
hI4dD 7  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] MADX7}tp\  
oR>Ln|jMwj  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] B%KS ^y;  
:bJ5Y&(  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) }C9tZu4   
i(2=xd:  
　　上述两式相比可得 *nN"51 6  
8 f!XU  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ERb}eFm;6  
ZU@m{Zu3  
半角公式 B"d?^))  
G_Xn}hL  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); =quvB?iLs  
tJ_|\ L\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. T"kKdgN  
 1 j  
和差化积 2,"$pmB~h  
eb6''\ThIC  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] a"-v`-d{~  
Xqz:"Y  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] F)bss)Q"!  
wv~(\E  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @ksZSDU  
U" 8PPLRP  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \OTl"v'  
N}4 Eh&  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) #;fpbl5}  
"J1tD.  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) I!4\{s0}  
|1fVMcfq  
积化和差 _m@Pe7lm  
!xy_/e1Z@F  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ?n330}2>Y  
@%vQif[  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?zyHr/C  
n~DhdvD<  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] DS/RsEx  
EwfyOk_Z  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] pB@r-1u  
o%2}Y.Y3  
诱导公式 PFS(#iy  
eQ ]by2g  
　　sin(-α) = -sinα @Mf ,v`m2  
<9|pUV:PK  
　　cos(-α) = cosα xqqlb %*k=  
?ISz)`8  
　　sin(π/2-α) = cosα <2/\2@2  
4[ zA`U  
　　cos(π/2-α) = sinα ~LWF^KKZl  
+L;I$S  
　　sin(π/2+α) = cosα NwA4.D 4T  
Ws_?1{11  
　　cos(π/2+α) = -sinα )"(Y7o%=  
j^`uKVL|  
　　sin(π-α) = sinα <y) !Nv  
WR`<CqE  
　　cos(π-α) = -cosα $uf *v#{W  
S`=zB K  
　　sin(π+α) = -sinα +!a5Hi<  
a@AeH*ub;9  
　　cos(π+α) = -cosα .6Wk.>n\]#  
s_ei9uaQ  
　　tanA= sinA/cosA xqVP[}{.  
E"4!g"*>u  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Ao bFpc(  
kW;4 j^  
　　tan（π/2－α）＝cotα M- [f)>[?  
+*rh#AK8  
　　tan（π－α）＝－tanα XB]cdZf k  
1[^8(0Pu  
　　tan（π＋α）＝tanα k0pK n<r(L  
f;?NV\\ui  
万能公式 w%*,/TXCkt  
DS,P  
　　 /Xp<[jgP  
g6 C$E9O  
其它公式 6 S)#H  
78Q"&"Mev  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 \fTwtQ_  
0=fZ1CE-  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 PNK+mWC/yH  
2>DbZHDPG7  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 TH6#x8S8<}  
l@Uo; L1  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 k+S-V ,  
LIqvS  
　　对于任意非直角三角形,总有 F#+!b M  
w5C1I7u{q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC '[q!nj"m  
23dV,%z8  
　　证: HY8LhMds  
+;<)ba.  
　　A+B=π-C 32zJR_%U5  
s*&*((pe  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 3M#"2"J"  
HSa5 3{G  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 47G?0 1}o,  
;YL{Wiw,N  
　　整理可得 yI]=*9k  
<P"w9j,F  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC I)4=`0pO  
~| ~>o  
　　得证 )[pF=De!2  
?P~ w]}ra  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 gt%I;%[_  
qJ\I r@  
其他非重点三角函数 lLjW!>p(  
Ni@`Ck%  
　　csc(a) = 1/sin(a) I b$,a~  
Pk")~ L{X  
　　sec(a) = 1/cos(a) #K%QD D>  
{'9Kb8M  
　　 LJl dKZ)[  
TL}3a  
双曲函数 Yyp;c/ m}  
d}.d CpD  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 91xfr5&@"  
HRKw=fMbY  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Nohp5.1  
4iIzb Xc  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) $w8_;8Vi1  
Wh4/.Z\E  
　　公式一： %sG8$zEaR  
{M LG  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： z&[CHP,3  
$CEz3PG!  
　　sin（2kπ＋α）= sinα SQC )=GZg_  
+c/SBw=  
　　cos（2kπ＋α）= cosα oVLlH#< "  
Cy)FR_<  
　　tan（kπ＋α）= tanα }%g7$ VXsQ  
,1R\['}  
　　cot（kπ＋α）= cotα  s&6G~  
-=2EeIf  
　　公式二： m[[n?LnLB  
X,}}DSZ8  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： pF#;H)A fg  
`4%E&6  
　　sin（π＋α）= -sinα f]1[YI0*  
np2+A  
　　cos（π＋α）= -cosα 3{Sq=m  
6 #=iNY  
　　tan（π＋α）= tanα TUxuJV~  
L@`\O*Hf+4  
　　cot（π＋α）= cotα j53/t#  
vhGpy(  
　　公式三： ytz_d  <  
V4*yGuKC[  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Bo #c&)i  
KQ&pJ7:  
　　sin（-α）= -sinα 1ZK\\fn  
cz%j\!  
　　cos（-α）= cosα B/za %  
\8\9-W E  
　　tan（-α）= -tanα _7pwLW]  
0f`=]V9,w3  
　　cot（-α）= -cotα eml6m(S  
U|^* F^  
　　公式四： 3$CiTND  
~{'hpL~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： OqypG g  
t\/% |`  
　　sin（π-α）= sinα ^Ok kDo  
, ovA<P  
　　cos（π-α）= -cosα `GQwdEooM  
e =}ViN  
　　tan（π-α）= -tanα s^N5CgQc\`  
s*8}1G  
　　cot（π-α）= -cotα <}_%yvpm  
BV\jc'NC^  
　　公式五： :9Ah5|Epb  
3EI!VYy ;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： @23Z-ihj<  
zsk4*C/A  
　　sin（2π-α）= -sinα 54)6(f8uW  
=d:~Q$g7*  
　　cos（2π-α）= cosα iS=4} Yj  
!8Ev#Bb]  
　　tan（2π-α）= -tanα ~ QLR?  
JhJ#[-&A  
　　cot（2π-α）= -cotα iG2}{$:(Y  
0QHUROwM,  
　　公式六： [@<)Wew  
b0-E,T(Zh  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： P.:1 E#  
7Q$s4(W  
　　sin（π/2+α）= cosα i FTT  
AyO],Uls  
　　cos（π/2+α）= -sinα yO m=l>*(?  
M &Q>c8  
　　tan（π/2+α）= -cotα i4T9!2X  
: Ic/$G>  
　　cot（π/2+α）= -tanα <t;}K1[  
"E`c]_`U  
　　sin（π/2-α）= cosα fC *il`4  
YW^M~0P(  
　　cos（π/2-α）= sinα YK@,.8y  
Tl|~B}m =  
　　tan（π/2-α）= cotα b _ wu@  
ifm'c3!}  
　　cot（π/2-α）= tanα !peTz   
myKZ JYrxK  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8f)y# e-kP  
)JW&6Hg  
　　cos（3π/2+α）= sinα x,L>G ?R*  
O*lIRa|@  
　　tan（3π/2+α）= -cotα cks.="  
d f*$7k  
　　cot（3π/2+α）= -tanα / PN1m#b  
z @zCihQ]  
　　sin（3π/2-α）= -cosα +||]  
h?s;08Pw  
　　cos（3π/2-α）= -sinα >'#, *epD  
_A@Pgb9=  
　　tan（3π/2-α）= cotα %WR+'jR  
q~<pikdG  
　　cot（3π/2-α）= tanα c3BiB,4  
Na|StxY  
　　(以上k∈Z) 3 >M;,<wG  
BHRPaSX`a  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 K ~?;^X Vp  
Jz}ye~u0p  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qM ;\aI&  
%~Z6,  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } )|$]iWhE(  
4pz4\0F  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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