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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 (F|dwmi  
/w'9tx _  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;q` > V  
x{F|L/j%3  
　　1、三角函数本质： y1Ol# |  
T IVr  
　　三角函数的本质来源于定义 @}Uaa>r  
i,<, WTG  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0+c`i  
3A1.{a  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 *a_6p 9  
P)r%?=ID\  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： BnG6TTTM  
< Xn7D'/iL  
　　推导： !*\=|(V  
H nlwor   
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 EZFV]5{G  
[OdUz,;v  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t.=gSw,)  
) _@hI  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Aa!#XnB  
h"Lwy*!S  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 IEyjN|Su  
EWq ps7   
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） JGl+1  
&QL!>m.   
　　[1] t_4MG  
|I<3k =  
　　两角和公式 )6%T,SbS  
z#wYS1X#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB <E4i\M` !  
I;f; t>&n  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  f]|II '  
375E  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB pLkG+w-  
wt/(T  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB OY5ZM  
zl)4/y  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $h'1*x"  
TnwGR Q  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 9!~kF.; X  
 cCjKB  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  73~UAov!/  
;MnQ5Cae  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) B@U:$gCy  
"! v]"Q  
倍角公式 Vz,|jPx  
w}e*6[}LO  
　　Sin2A=2SinA•CosA 4))Oz~v-1  
 N#`t(u~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ^ l8[x(F  
9Ot`iE[,  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） J1sTmgb[9f  
WH+M1X"O  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Rn~V!U^Qi  
H{ID>6~O/c  
三倍角公式 '[bZNk%  
6dc,y@YU/  
　　 8Ju*I  
dMHg(T07^  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) k[_=<Q2l  
z{!F.  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) )Cvl]r>j I  
Uf_4$qH\  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ;o wa' XZ~  
 |ko&![  
三倍角公式推导 ?U)pL>%-\  
fr;<w4ws~o  
　　sin3a r'Kyd]FB  
XkIE:q3jnD  
　　=sin(2a+a) lg _vT =zx  
Q>7&:ZuV,  
　　=sin2acosa+cos2asina pY9c   
wrl VtB  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina XyQYmPe>J  
dalU0H  
　　=3sina-4sin³a 7*f(s*h  
%]f_U$x   
　　cos3a V?'\{reP\  
h*9ee  
　　=cos(2a+a) Y gf{J"  
!#zDO6A eO  
　　=cos2acosa-sin2asina ,^HpLO'  
pWpemzx?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !<f"u vIu  
0/#&'v'F|  
　　=4cos³a-3cosa ME'''1b+d  
A.HT(8$  
　　sin3a=3sina-4sin³a LTcP9!\  
Tjr\oblJu  
　　=4sina(3/4-sin²a) :AG8-R-q  
$aiF'+EI  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] eqz5\)(6}  
-P}@ZAnso  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 8%HdtX  
w6!0X[7 (  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) *:6=cpax  
 #[?Wx#  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &`mkD@jZ  
1g{tPQ/   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ~;HhFu}e?a  
]9qYy  
　　cos3a=4cos³a-3cosa K P-9/f+  
KIi ,wkY.  
　　=4cosa(cos²a-3/4) I{.=\jBH?  
y>J<(|hm  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] mCY  y  
hIkU)s#  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) W07,zSd  
sewZ$ R\G.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (p")`Om  
/))5mi&  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} f"`NQ`yJT  
ufmL}b]w  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) sV(,p@OX?  
z!#$15.xl  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] y=SwV;tV  
<H10aXp_`$  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] JF1 x30  
.U ;`;Q  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ;9{>5f3  
h}G ]o>m0  
　　上述两式相比可得 ~1#Pd&tR#  
qh! Y + O@  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) KP$*ib4=;  
k"gFn&  
半角公式 YPeC &^*S  
o( @G:P|u  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .B65@  
i_R{ 9W  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Nee1?M!W  
}xHtp)P_i  
和差化积 YQ?%dgl  
|?d>)Ek&  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [q_H3 >0+  
@IY0@C4d  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] F?pwv3"  
DVF]mX;  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jsu_iEMRn  
RinuF(  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] hpWtfq||N  
Uh?KJUhY  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Re{lpoO  
CN9ml~_f  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) "J3!5:4  
t{t[&2|1a;  
积化和差 0fTu ?sp  
+ >(];px  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] )U#]ALTL  
9(ngnxR  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] e^+*~U  
@8KaB: mo  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] +X ZS\d  
f `(Grt  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Vq k`#Cj%:  
[qjy@Xf%  
诱导公式 F S7^bYX$=  
F9ip=b%  
　　sin(-α) = -sinα <pYI8L/  
,]P0}2K%  
　　cos(-α) = cosα vE*T,cAG|'  
hm K\wj  
　　sin(π/2-α) = cosα  /<[ZW  
nYzy  
　　cos(π/2-α) = sinα _H+<+d\  
x*{k;[pB}  
　　sin(π/2+α) = cosα \*MMg4sa{  
D4{+P/a  
　　cos(π/2+α) = -sinα ppXnGJ9k  
F$0( 2U  
　　sin(π-α) = sinα c-v {ufM)  
dhA)FlT^*  
　　cos(π-α) = -cosα |_.rcI41Y  
qlI(T  
　　sin(π+α) = -sinα iqAa+>`Y  
"55:xZd<  
　　cos(π+α) = -cosα *X[B5TB9  
{$%jk*5rJ  
　　tanA= sinA/cosA WhRNe-e~9%  
Z;QUb@FJ  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα x3!l&W`  
/<6l2)e  
　　tan（π/2－α）＝cotα W{w>9X7H  
e-kZ'Tt<A  
　　tan（π－α）＝－tanα m7j B6^7  
.}Z)y ^  
　　tan（π＋α）＝tanα xbUuCpB  
={|P)j ar  
万能公式 fI.fK a  
C~[z$  
　　 = :m J=j  
SY|zZ> TDa  
其它公式 ck2z,a U  
8Jo_ k@{  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 fUnve 20g  
o94{c4eo  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 yRd3Y*k^  
({Zs)YM  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 tssM` IF  
+ ~'RX  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Hw9MSEm4  
? @|]=a  
　　对于任意非直角三角形,总有 Jazmrw&  
\~pSG^ L&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC C,D:`;2P  
C (sk|  
　　证: B(8Y~,R+  
gL8n6ULLR  
　　A+B=π-C 3Y\;t7UH|  
q^8">J^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @P>: )_  
=:~8Wu"A  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BL/J;K->  
1:4lz  
　　整理可得 >) YQ)  
VCT(oYEE  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MI4)tYY}  
eFAOBz5"]  
　　得证 0lDVNtq#  
Wc]+F;L  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 jS<m>$u9K  
zKA4a H  
其他非重点三角函数 ^QiTk (]  
Zy;1L$r!V  
　　csc(a) = 1/sin(a) 4hS?\Pcu  
umpvA^gvv  
　　sec(a) = 1/cos(a) n@Slq FEm  
YK  aSg  
　　 eIEL({i,  
}[cK.EB:  
双曲函数 $Z-E/p)  
GQ#Nvxd  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -[n}=^  
SMeJLv  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 |#W~Z&hQj  
\Zat%mD^(_  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  =zn>4-  
5z(}~3:pT  
　　公式一： >jlZ]}#Dk@  
lEe4dkop  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： .Tc aK "  
INWI1*OG  
　　sin（2kπ＋α）= sinα f{CB-u+3  
 mCATR  
　　cos（2kπ＋α）= cosα [AxCGVUX  
$v #]g?]  
　　tan（kπ＋α）= tanα NQ<\F!*  
r-X_bN$`  
　　cot（kπ＋α）= cotα O9 KxmwIJ  
5#?02gU2  
　　公式二： Z1Ks;YU8*  
q~TFttF  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： dpo!2g  
X2Y.0 c  
　　sin（π＋α）= -sinα k|)x  
PvmS#o%`[  
　　cos（π＋α）= -cosα ;:upKy&#DS  
#j U_G  
　　tan（π＋α）= tanα N0.4Kl]f  
;&cQN8kY  
　　cot（π＋α）= cotα 2h Pl  
K@ ,%2`#n  
　　公式三： _lU`}@!d  
CUni)XJm.H  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 4V e>yU  
^-@R7~8T  
　　sin（-α）= -sinα jY vZp  
\KFnyX  
　　cos（-α）= cosα 9}A A0g  
ub)(O#/D  
　　tan（-α）= -tanα cQHgl=   
+FZ)ve#c7  
　　cot（-α）= -cotα 33%" q2%M  
B39t i O  
　　公式四： Y%lyTPXuOr  
tA&L\&uM?e  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： D*>%r_B  
@[MR&i0m  
　　sin（π-α）= sinα b[jSY)j  
N]cd."&9  
　　cos（π-α）= -cosα Eo@55it!  
;\?^ZBS  
　　tan（π-α）= -tanα >;[4`}"58  
ajRia J*gr  
　　cot（π-α）= -cotα |o=+6zhi  
J Dv_,A  
　　公式五： Sh;C[&5o  
> $xSj%  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Gb.;*   
D6[2ZE  
　　sin（2π-α）= -sinα #*Y|; ~o  
ws6<SZAF  
　　cos（2π-α）= cosα b(EbM  
g:o x_4~  
　　tan（2π-α）= -tanα sD{;DgP  
t <%,  
　　cot（2π-α）= -cotα 52sN_RhS*  
rDv * p!F  
　　公式六： *Nq.5^M^y  
2 h> y!y  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： KxBy}t$  
bV[zxu T@  
　　sin（π/2+α）= cosα R&&E/  
EG{T *DR  
　　cos（π/2+α）= -sinα ub^D])}  
.y$\yP;:Q  
　　tan（π/2+α）= -cotα Vew O2<B  
G\aXLZ  
　　cot（π/2+α）= -tanα Z3G7pqW  
9adf#pn:  
　　sin（π/2-α）= cosα au_LEF  
TD=QPQL  
　　cos（π/2-α）= sinα blVa(_;  
 EIP 8Bz  
　　tan（π/2-α）= cotα GMt:c?jV  
%& sYQR7  
　　cot（π/2-α）= tanα &wt>s$)W  
o&E!A?  
　　sin（3π/2+α）= -cosα p6qk*=rk  
z/mc}ov  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~NSY bXs  
v1 ^E-T  
　　tan（3π/2+α）= -cotα [gBO_NqDi\  
MP;0O8LT  
　　cot（3π/2+α）= -tanα yeN/bn;  
`)7 %R  
　　sin（3π/2-α）= -cosα k/Pz*@oK   
{EgMm y  
　　cos（3π/2-α）= -sinα P`2|ktX=-  
ga@OaC/H  
　　tan（3π/2-α）= cotα _he] lmN}  
FUr5Ph  
　　cot（3π/2-α）= tanα 0a}#cy Q}  
"3S*:_|?R  
　　(以上k∈Z) LW C n)|f  
8-g,nJ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 0cZ-#!h  
h[h>8v)"L  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = YA*gjh\=  
`$ g+lx&  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #H8I92YnP  
} v|apX  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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