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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 LSsYYa-3C\  
IT4 "\v\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. |-H_w,kX  
>/bT`'Z=s  
　　1、三角函数本质： >md<}wD  
Daf*da"5]=  
　　三角函数的本质来源于定义 l In1`  
?;F$$ <+  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Qo1e":<.  
LZ1:[3o5  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 qq{'9n|*u  
3M^=gIpw  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7>lH0e=k  
H-vwVy  
　　推导： Cqg$EM|7  
)YFD M@;  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 [V}4VbF;^  
%d1;V[`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) v}=!>eK_  
Hra[wt(R  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @vqg@hc){  
d&/H;.^A  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 sB K_[I,,  
$w [ Oh  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） >$t\^~j=  
llxRW6Rd  
　　[1] Fn$#'VWp  
)JAW&?!  
　　两角和公式 2[%? .=  
[Z0wg  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 7{e*/  
KS3K>5R  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  I'Z=MWU  
-@!O\1bDg  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB G^zs~*d9  
y=/gjg*?5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB l=<J=rs.  
*%rk#'GJD  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) `s jZBe<B  
:x!Ujc  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) #3zAs`  
0[CPOtFU  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  OgkB+2m#O9  
H b;v{ =~  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) \p +2pi 1B  
sWk  >o\  
倍角公式 48q,\j'!  
q 2$!W  
　　Sin2A=2SinA•CosA  g xP2Z  
0IHsq(Y  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 uzYKy0D$  
 OGUxO  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） XzHh_  
|hZ'([]  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） #2 -gTKH,  
< B[rFD  
三倍角公式 i]trgDh}  
~4&qS/  
　　 #P_+3p  
],bCrk,5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) E:Z*:aa  
U!-Qv~ s$  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Ry$"1=  
o4CB)Q?*o  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) {Q,_$'p'(  
ew!{HJSy  
三倍角公式推导 b^kFL}f1-  
t4B+N2*  
　　sin3a NC"zHaJ  
K^.`,RK  
　　=sin(2a+a) } m}I{;  
vv exdR$+  
　　=sin2acosa+cos2asina |b{?6 %  
KmA7tVG8c  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina z/k}B9t  
]uzB L%  
　　=3sina-4sin³a cmd/H}|  
E6|Zt5fJ  
　　cos3a rRwV.) I  
*GI$L  
　　=cos(2a+a) Unqqw!  
Lt ,]N#X  
　　=cos2acosa-sin2asina #YBF*j|U  
I}&*#[  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Rs$r M4Ng  
/zzF~z-g  
　　=4cos³a-3cosa HN3jQi7i2  
 ,V^}Z;  
　　sin3a=3sina-4sin³a .%%'qz.  
{yUI;)P  
　　=4sina(3/4-sin²a) o /.nz'  
i]Do;n,  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] @:Pd@T+!  
r/H =8K%>  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) N{sYw  
wl"r@r  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) D|oRn0w}  
7[r4aXN8_Q  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] wRtzyB |  
K@VzI+  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) CX}TGTbf  
k)=abp%  
　　cos3a=4cos³a-3cosa HK Wq|  
'Y7]2 %Z"  
　　=4cosa(cos²a-3/4) $SM &0~P  
0L["a  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] S16. }mt W  
DbKM6L  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) w (4<pc  
"R/jTx"Ly  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) '<~/G7iI<  
:GjW')n  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} [D~!K aDs  
!|;(!^#x  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4/C3~O GY  
FxJM"D  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] yMn; f  
`{E`HDitg  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Y: `#&%  
57T ?M =z  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) xQ 9kO=db7  
vy%iX^o  
　　上述两式相比可得 ` T < k+  
?60!-\  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) SivZBrH3  
4AA!S| sB  
半角公式 V79<1b7f  
:<v.rup  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +1z] Gf  
sU)BwT7z_\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. mrE[Vv"t^  
)h!{ @  
和差化积 @p\rP,y *  
2N dhU.  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JQ`STZk  
w'@makH7V  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] sn+{Bw,  
?rA+ywf  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G&p9G) $  
(g }!M;H  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] V p6 bVxxl  
ZMg8#S<s  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) WS9j Ky1+~  
K\3^OQ d  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) v<[znG`oJ  
>(]mXSv$/  
积化和差 #CnkXd4  
W`jr^w :  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] " Zk!&G)!  
&]+{~Pg  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 3q> ' _tt  
\]!%9yQ^  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] X2!&w}  
$+v3/CF"  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] :/3<9T  
PKX`iL=  
诱导公式 ;1Vbk?YQ  
/w<y@: g  
　　sin(-α) = -sinα N$")=%<  
!-r^kb,\  
　　cos(-α) = cosα T#cVK0. .R  
,Eu&QW"C0  
　　sin(π/2-α) = cosα (x|n}qO%  
|sm+LDtT\z  
　　cos(π/2-α) = sinα ~8 <tK  
R J:B|5nj  
　　sin(π/2+α) = cosα _FAkMVD  
Po$ Ok (  
　　cos(π/2+α) = -sinα  T;goFB  
)E@Q  
　　sin(π-α) = sinα R=dQTU]X  
L3;T{]<  
　　cos(π-α) = -cosα O{:"jw[D  
d:'V)| "'  
　　sin(π+α) = -sinα q > H>)H5  
<]y/{|  
　　cos(π+α) = -cosα 8>s?Ib  
d_vIfARUit  
　　tanA= sinA/cosA z7s*x tsD  
Lq "|W v  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7U1Yj5~  
:+)1 he=VD  
　　tan（π/2－α）＝cotα @$r$oCK  
z_@|Gm0o  
　　tan（π－α）＝－tanα %Q. $[oy  
EE8Zqqzh  
　　tan（π＋α）＝tanα T=b QwQ  
eAVyy-^1RN  
万能公式 V}b0fsS?  
*#z)%T;Tp  
　　 !R3t9Z  
pd&6C5wx  
其它公式 rIZ'b%  
.f(^Q{!  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~69LNUY A  
870&ct  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 EP>XL#!i  
A-.X\QF q  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 zb-T3 A  
OIb0%\*!  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 G gBqr~  
<DnC>Hf U  
　　对于任意非直角三角形,总有 f>2Qa~*n  
B^qJ"Tz U  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @9t _aij  
ul55<u0&  
　　证: 3L3/H+  
19>,]  
　　A+B=π-C yS8y{lN` !  
0_sY)!hXE  
　　tan(A+B)=tan(π-C) %`K~)L~Mx  
v6)rma9G  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) \rt4LZ   
XP!D:3~b  
　　整理可得 56 lc^  
\1<79c6G=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M'k|NX@-V^  
D>kO,QF  
　　得证 )NR('vR  
lB3Nr*P5  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 wI%+cTqv@V  
3053'4:Q!  
其他非重点三角函数 XNv9 Vt]  
\vq>ZUM  
　　csc(a) = 1/sin(a) C0{|~O lH  
8d%axR3  
　　sec(a) = 1/cos(a) Pn? ?q<:  
>Y9WJ29d  
　　 z1v>5z_S)  
G9w? G  
双曲函数 = J!fKGYAk  
AJd'4+I9  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 /y O A5PE  
Bi0} tE  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 D} 0ja  
(% 7^&H7q  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Y 1TSE^,  
e v'l G  
　　公式一： g{bWD4)  
%J17R=WYv  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： xwBI=V  
eKjR<  
　　sin（2kπ＋α）= sinα G<ir 4  
=={v+N)e  
　　cos（2kπ＋α）= cosα xQ%I2= },  
Sgd B,!WK  
　　tan（kπ＋α）= tanα qz+ tT?ZL  
c0dITjh  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9d:$GZoi  
uQw!`kbA?X  
　　公式二： #ua{7bX  
/P> \g9q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： L/;x<\ 3  
(i}lZ*|eb  
　　sin（π＋α）= -sinα WUt #o)K  
iyXl'Y$I  
　　cos（π＋α）= -cosα F,USWO!  
Y=W: /N{  
　　tan（π＋α）= tanα OQIYgHr  
\{?s?>t  
　　cot（π＋α）= cotα g5) pt  
*UI_(  
　　公式三： ui$&G=GO  
kIz|vBBhb  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： J?QY$;+o  
$ <BT+qF\  
　　sin（-α）= -sinα +[t7@`T  
0GAUBD{I  
　　cos（-α）= cosα Ko(`sf }$  
B[>>Fww  
　　tan（-α）= -tanα :H%<[0^xx  
jn !f<L2{  
　　cot（-α）= -cotα jKcWJX  
2=Fiy`P_  
　　公式四： UO'u,C  
E@-.iWY  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： g 7.b5  
OS+-$I4  
　　sin（π-α）= sinα ppK4n7  
T]ZA~}x  
　　cos（π-α）= -cosα +p8DD_6  
*XOO`;k+  
　　tan（π-α）= -tanα ?{C>1Qm e  
zbE9W3~'i  
　　cot（π-α）= -cotα i{{U_NGH  
\&KfgZ(|  
　　公式五： 8G 8?W^;  
"3/8kF  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  ,0} C  
=:?M) l  
　　sin（2π-α）= -sinα E pf 6 J"z  
jBWk, IA  
　　cos（2π-α）= cosα vda?u7Br'  
["jbQjgF  
　　tan（2π-α）= -tanα eC6$  
kg]}HW3J  
　　cot（2π-α）= -cotα \@=TZ'po)I  
9Le(B^+  
　　公式六： <^`,NQ{3*  
3(cu#I zef  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： qHn$hc7HV6  
@ J\3#@2Z1  
　　sin（π/2+α）= cosα vbe1LnS5  
*:5Lww:  
　　cos（π/2+α）= -sinα ~aGqXZt<  
ah@>xC  
　　tan（π/2+α）= -cotα *_kb'-}I  
'MeoPCb34  
　　cot（π/2+α）= -tanα `O4!px$u  
`f>^)*"'  
　　sin（π/2-α）= cosα E_<dt_A$  
tNI]9' 2  
　　cos（π/2-α）= sinα &?d:E^  
rE\E{L3aj:  
　　tan（π/2-α）= cotα xst-<5?s"  
F_' 0],P  
　　cot（π/2-α）= tanα -Dek0  
S"JEm|9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα m?",  
j]%Ny P#(V  
　　cos（3π/2+α）= sinα rU0jjM&:  
-6$E*" x  
　　tan（3π/2+α）= -cotα t y#`}vg  
kq=:Xr&x  
　　cot（3π/2+α）= -tanα :"u P}  
?cna 0=q  
　　sin（3π/2-α）= -cosα KwT=B p  
hPWO4Re)  
　　cos（3π/2-α）= -sinα q\<W!?!-  
I36]% o~  
　　tan（3π/2-α）= cotα J$FxF3z~  
L^Q G2/.;  
　　cot（3π/2-α）= tanα vx_iM;Vo*  
'7JYsk2  
　　(以上k∈Z) h sy!SO |  
1E&6k} 6ci  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 nL7}AVL}  
00v4 6Y3  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = TA I@LRCj  
gYjF_Dj  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } `9]WNHOc+  
_3"xv~]a  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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